Synthese der quartischen Differentialgleichung: Reihenfolge korrigiert!
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Und die dritte Ableitung nimmt diese Form an:
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Und die dritte Ableitung nimmt diese Form an:
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:<math>\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x) = \frac{\pi^6 + 6\pi^4 (1+x^2)K(x)^2 – 12\pi^4 K(x)E(x) + 8\pi^2 (1+x^2)^2 K(x)^4 – 24\pi^2 (1+x^2)K(x)^3 E(x) + 24\pi^2 K(x)^2 E(x)^2}{8x^3(1-x^2)^3 K(x)^6} q(x) </math>
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:<math>\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x) = \frac{\pi^6 + 6\pi^4 (1+x^2)K(x)^2 – 12\pi^4 K(x)E(x) + 8\pi^2 (1+x^2)^2 K(x)^4 – 24\pi^2 (1+x^2)K(x)^3 E(x) + 24\pi^2 K(x)^2 E(x)^2}{8x^3(1-x^2)^3 K(x)^6} q(x) </math>
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Dabei ist das vollständige elliptische Integral zweiter Art auf folgende Weise definiert:
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Dabei ist das vollständige elliptische Integral zweiter Art auf folgende Weise definiert:
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: <math>E(x) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-x^2\sin(\varphi)^2} \mathrm{d}\varphi = 2\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{(y^2+1)^2 – 4x^2y^2}}{(y^2+1)^2} \mathrm{d}y </math>
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: <math>E(x) = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-x^2\sin(\varphi)^2} \mathrm{d}\varphi = 2\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{(y^2+1)^2 – 4x^2y^2}}{(y^2+1)^2} \mathrm{d}y </math>
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Aus diesen Gleichungen folgt:
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Aus diesen Gleichungen folgt durch die Eliminierung des elliptischen Integrals zweiter Art:
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: <math>3\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} q(x)\biggr]^2 – 2\biggl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} q(x)\biggr]\biggl[\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x)\biggr] = \frac{\pi^8 – 4\pi^4 (1+x^2)^2 K(x)^4}{16x^4(1-x^2)^4 K(x)^8} q(x)^2 </math>
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: <math>3\biggl[\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} q(x)\biggr]^2 – 2\biggl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} q(x)\biggr]\biggl[\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} q(x)\biggr] = \frac{\pi^8 – 4\pi^4 (1+x^2)^2 K(x)^4}{16x^4(1-x^2)^4 K(x)^8} q(x)^2 </math>
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Somit gilt diese quartische Differentialgleichung<ref>{{Internetquelle |url=https://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticNomeQ/20/01/ |titel=Elliptic nome: Differentiation (subsection 20/01) |abruf=2021-08-22}}</ref> dritter Ordnung:
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Somit gilt diese quartische Differentialgleichung<ref>{{Internetquelle |url=https://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/EllipticNomeQ/20/01/ |titel=Elliptic nome: Differentiation (subsection 20/01) |abruf=2021-08-22}}</ref> dritter Ordnung:
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