Обратное по модулю число

В [[Кольцо (математика)|кольце с единицей]] общего вида не всякий элемент имеет [[Обратное число|обратный]], а те, что имеют, называются [[Обратимый элемент|”’обратимыми”’]]. Поскольку произведение обратимых элементов обратимо, обратимые элементы кольца образуют [[Группа (математика)|группу]], ”’группу обратимых элементов кольца”’, и эта группа часто обозначается как <math>R^{\times}</math>, если {{mvar|R}} является названием кольца. Группа обратимых элементов кольца целых чисел по модулю {{mvar|m}} называется ”’мультипликативной группой целых по модулю {{mvar|m}}”’ и она [[Изоморфизм|изоморфна]] приведённой системе вычетов. В частности, её [[Порядок группы|порядок]] (размер) равен <math>\phi(m)</math>.

В [[Кольцо (математика)|кольце с единицей]] общего вида не всякий элемент имеет [[Обратное число|обратный]], а те, что имеют, называются [[Обратимый элемент|”’обратимыми”’]]. Поскольку произведение обратимых элементов обратимо, обратимые элементы кольца образуют [[Группа (математика)|группу]], ”’группу обратимых элементов кольца”’, и эта группа часто обозначается как <math>R^{\times}</math>, если {{mvar|R}} является названием кольца. Группа обратимых элементов кольца целых чисел по модулю {{mvar|m}} называется ”’мультипликативной группой целых по модулю {{mvar|m}}”’ и она [[Изоморфизм|изоморфна]] приведённой системе вычетов. В частности, её [[Порядок группы|порядок]] (размер) равен <math>\phi(m)</math>.

Когда {{mvar|m}} является [[Простое число|простым]], скажем {{mvar|p}}, то <math>\phi(p) = p-1</math> и все ненулевые элементы <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> имеют обратные, а тогда <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> является [[Конечное поле|конечным полем]]. В этом случае мультипликативная группа целых чисел по модулю {{mvar|p}} образует [[Циклическая группа|циклическую группц]] порядка {{math|”p” − 1}}.

Когда {{mvar|m}} является [[Простое число|простым]], скажем {{mvar|p}}, то <math>\phi(p) = p-1</math> и все ненулевые элементы <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> имеют обратные, а тогда <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> является [[Конечное поле|конечным полем]]. В этом случае мультипликативная группа целых чисел по модулю {{mvar|p}} образует [[Циклическая группа|циклическую группу]] порядка {{math|”p” − 1}}.

== Пример ==

== Пример ==