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Sei <math>X</math> [[lokal wegzusammenhängend]]. Dann sind zwei [[Wegzusammenhängender Raum|wegzusammenhängende]] Überlagerungen <math>p_1:E \rightarrow X</math> und <math>p_2: E’ \rightarrow X</math> isomorph, i.e. es gibt einen [[Homöomorphismus]] <math>f:E \rightarrow E'</math> genau dann, wenn <math>p_{1\#}(\pi_1(E))=p_{2\#}(\pi_1(E’))</math>.<ref>{{Hatcher|2001|p=67|loc=Proposition 1.37}}</ref>
Sei <math>X</math> [[lokal wegzusammenhängend]]. Dann sind zwei [[Wegzusammenhängender Raum|wegzusammenhängende]] Überlagerungen <math>p_1:E \rightarrow X</math> und <math>p_2: E’ \rightarrow X</math> isomorph, i.e. es gibt einen [[Homöomorphismus]] <math>f:E \rightarrow E'</math> genau dann, wenn <math>p_{1\#}(\pi_1(E))=p_{2\#}(\pi_1(E’))</math>.<ref>{{Hatcher|2001|p=67|loc=Proposition 1.37}}</ref>
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Ähnlich wie beim [[Hauptsatz der Galoistheorie]] gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u.z.:
Zusammen mit dem Abschnitt über normale Überlagerungen erhält man nun die folgende Galois-Korrespondenz:
Sei <math>X</math> [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und [[Lokal einfach zusammenhängend|lokal einfach-zusammenhängend]], dann gilt:
Sei <math>X</math> [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängend]] und [[Lokal einfach zusammenhängend|lokal einfach-zusammenhängend]], dann gilt:
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\end{matrix}
\end{matrix}
</math>
</math>
Für eine aufsteigende Sequenz <math>
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Ähnlich wie beim [[Hauptsatz der Galoistheorie]] gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen der Kardinalität der Überlagerung und der Größe der Untergruppen, i.e.: Für eine aufsteigende Sequenz <math>
\displaystyle \{\text{e}\} \subset H \subset G \subset \pi_1(X)
\displaystyle \{\text{e}\} \subset H \subset G \subset \pi_1(X)
</math> von Untergruppen, ist die Sequenz <math>
</math> von Untergruppen, ist die Sequenz <math>
Zeile 157: Zeile 157:
</math>
</math>
eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe <math>
eine Sequenz von Überlagerungen und für eine Untergruppe <math>
H \subset \pi_1(X)
H \subset \pi_1(X)
</math> vom Index <math>
</math> vom Index <math>