延森不等式

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”’琴生不等式”’（{{lang-en|Jensen’s inequality}}）以[[丹麥]][[數學家]][[約翰·延森]]命名。它給出[[積分]]的[[凸函數]]值和凸函數的積分值間的關係。簡森不等式有以下推论：过一个[[下凸函数]]上任意两点所作[[割线]]一定在这两点间的函数图象的上方，即：
:<math>t f(x_1) + (1-t) f(x_2) \geq f \left (t x_1 + (1-t) x_2 \right ), 0 \leq t \leq 1.</math>

==一般形式==

延森不等式可以用[[測度論]]或[[概率論]]的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

===測度論的版本===

假設<math>\mu</math>是集合<math>\Omega </math>的正測度，使得<math>\mu(\Omega) = 1</math>。若<math>g</math>是[[勒貝格積分|勒貝格可積]]的[[實數|實值]]函數，而<math>\varphi</math>是在<math>g</math>的值域上定義的[[凸函數]]，則

:<math>\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu</math>

===概率論的版本===

以概率論的名詞，<math>\mu</math>是個[[概率測度]]。函數<math>g</math>換作實值[[隨機變數]]<math>X</math>（就純數學而言，兩者沒有分別）。在<math>\Omega </math>空間上，任何函數相對於概率測度<math>\mu</math>的積分就成了[[期望值]]。這不等式就說，若<math>\varphi</math>是任一凸函數，則

:<math>\varphi\left(E(X)\right) \leq E(\varphi(X))\,</math>

==特例==

===機率密度函數的形式===

假設<math>\Omega </math>是實數軸上的可測子集，而<math>f(x)</math>是非負函數，使得

:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1</math>

以概率論的語言，<math>f</math>是個[[機率密度函數]]。

延森不等式变成以下關於凸積分的命題：

若<math>g</math>是任一實值可測函數，<math>\phi</math>在<math>g</math>的值域中是凸函數，則

:<math> \varphi\left(\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(g(x)) f(x)\, dx</math>

若<math>g(x)=x</math>，則這形式的不等式簡化成一個常用特例：

:<math>\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,f(x)\, dx</math>

===有限形式===

若<math>\Omega </math>是有限集合<math>\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}</math>，而<math>\mu</math>是<math>\Omega </math>上的[[正規化常數|正規]][[計數測度]]，則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示：

:<math> \varphi\left(\sum_{i=1}^{n} g(x_i)\lambda_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \varphi(g(x_i))\lambda_i</math>

，其中<math> \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1, \lambda_i \ge 0</math>。

若<math>\phi</math>是凹函數，只需把不等式符號調轉。

假設<math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math>是正實數，<math>g(x)=x</math>，<math>\lambda_i = 1/n</math>及<math>\varphi(x) = \log(x)</math>。上述和式便成了

:<math> \log\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} \right) \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{\log(x_i)}{n}</math>

，兩邊取[[自然指數]]就得出熟悉的[[平均數不等式|-{zh-cn:均值不等式; zh-hant:平均數不等式}-]]：

:<math> \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}</math>

這不等式也有無限項的離散形式。

===統計物理學===

統計物理學中，若凸函數是指數函數，延森不等式特別重要：

:<math> e^{\langle X \rangle} \leq \left\langle e^X \right\rangle</math>

，其中方括號表示[[期望值]]，是以[[隨機變數]]”X”的某個[[概率分佈]]算出。這個情形的證明很簡單（參見Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三個指數函數

:<math> \left\langle e^X \right\rangle
= e^{\langle X \rangle} \left\langle e^{X – \langle X \rangle} \right\rangle </math>

套用不等式

:<math> e^X \geq 1+X \, </math>

，即得出所求的不等式。

==參考書目==
*{{Book reference|author=Walter Rudin|title=Real and Complex Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1987|isbn=0-07-054234-1}}
*{{Book reference|author=David Chandler|title=Introduction to Modern Statistical Mechanics|publisher=Oxford|year=1987|isbn=0-19-504277-8}}

==注釋==
<span style="font-size:smaller;"><references /></span>

==外部連結==
* [http://mathworld.wolfram.com/JensensInequality.html MathWorld上的延森不等式網頁]

[[Category:代数不等式]]
[[Category:概率不等式]]
[[Category:数学分析]]