歴史で学ぶ量子力学【改訂版・2】「自分が物理学など何も知らない喜劇役者だったらよかったのに」

物質の全ては波

物理学の常識では同時に成り立つはずのない2つの性質「粒子」と「波動」が、どちらも成り立ってしまうという問題に対し、最初の光を当てたのが、物理学者としては異例の系譜を持つフランス公爵家出身の貴公子ルイ・ド・ブロイでした。

彼はX線を研究する兄モーリスの影響で物理学にはまっていき、兄が公爵家を継ぐために科学の道を諦めたため、その意志を引き継いで物理学者になりました。

ド・ブロイの発想は非常に画期的でした。

彼は光が粒子なのか、波なのかという論争を物理学者たちが繰り広げる中で、次のようなことを考えたのです。

「波であるはずの光が粒子のように振る舞うのだとしたら、原子などの粒子は波のように振る舞うのではないだろうか？」

ド・ブロイはこの考えに基づき、当時太陽の周りを回る惑星のように原子核の周りを軌道を描いて回る粒子だ、と考えられていた原子内の電子を定在波であると仮定した論文を書いたのです。

一見突拍子もないド・ブロイの思いつきですが、この理論はボーアの原子モデルが抱えていた問題を見事に説明することができました。

ボーアが新しい原子モデルを発表した当初、多くの物理学者は次のような疑問を唱えていました。

「電子が加速して運動した場合、電磁エネルギーが放射され電子は自身のエネルギーを失ってしまうはずだ。そうなると電子は原子核に落下してしまうだろう」

そこで、ボーアは「特別（定常的）な軌道を回るときは、電子はエネルギー放射を行わないので、原子核に落ちることはない」と説明しました。

ボーアは数学的にその軌道の長さや、エネルギー量を計算して示すことにも成功しましたが、「ではなぜ特別な軌道上では電子がエネルギー放射をしないのか？」という疑問には答えられなかったのです。

もしド・ブロイの主張する通り、電子が粒子でなく波なのだとしたら、それは運動しているわけではありません。

粒子の運動でないなら、電子は加速することもなくエネルギー放射を行うこともありません。つまり原子核に落下することもなくなるのです。

しかも、ド・ブロイの考える定在波の電子は、原子核の周りでぐるりと円を描いて繋がっているため、波形のずれる長さでは成立しません。

軌道の長さは、必ず電子の波長の整数倍でなければならず、それはボーアが計算した電子の軌道とピタリと一致しました。

つまり「電子に定常的な軌道が存在する理由」についても、ド・ブロイの理論は説明することができたのです。

しかし、このアイデアがすぐに物理学者たちに受け入れられることはありませんでした。

なにせ、この論文はド・ブロイが学位取得のために書いた博士論文だったのです。

けれど、この論文を手放しで評価した人物が現れました。

それが、光電効果によるノーベル賞受賞と、一般相対性理論の発表をほぼ同時期に果たし、一躍時の人となっていたアインシュタインでした。

当時の物理学会にとってアインシュタインの太鼓判は、ド・ブロイの考えを受け入れるのに十分な理由でした。

しかし、「粒子だと思っていた電子が波である」などという主張はどうやって証明すればいいのでしょう？

ド・ブロイはそれについて、「電子が波の性質を持つならば、電子も回析を起こすはずだ」という予想を述べました。

このド・ブロイの予想は、後に複数の物理学者たちの実験によって証明されます。

その中の一人が、ジョージ・トムソンでした。この功績によりジョージ・トムソンはノーベル物理学賞を受賞します。

ちなみに、彼の父、J・J・トムソンは電子が粒子であることを発見し、ノーベル物理学賞を受賞した科学者です。

トムソン親子は驚いたことに、それぞれ「電子は粒子である」「電子は波である」ということを実験で証明し、親子二代でノーベル賞を受賞してしまったのです。

これには物理学者たちも苦笑いだったでしょう。

もはや、光も電子も「波でありながら粒子の性質を示す」ことは間違いのない事実となりました。

ただ問題は、波と粒子が同時に成り立つことを、古典物理学の概念では表現できないことです。

ここからの物理学に求められるのは、見慣れた世界を捨て去った新しい理論だったのです。

パウリの排他原理

古典物理学では光も電子も手に負えないということが徐々に明らかになり、物理の世界は新しい理論を求めるようになっていました。

こうした中登場したのが、量子力学の歴史を語る上で欠かすことのできない重要人物の一人、ヴォルフガング・パウリです。

彼はかなり早熟の天才でした。

世の中には「授業中に机の下に隠した漫画を読んでいた」なんて不届きな人もいるかも知れませんが、パウリの場合、退屈な授業中に隠れて読んでいたのは、アインシュタインの相対性理論の論文でした。

彼の最初の師となったのは、前回登場した「ボーアの原子モデル」に電子軌道が楕円という修正を加えて完成形に近づけたゾンマーフェルトでした。

ゾンマーフェルトは数理科学百科事典という物理をまとめた本を作っていて、相対性理論の解説をアインシュタインに依頼しましたが断られたため、まだ19歳だったパウリにその編集を任せました。

ゾンマーフェルトとしては、パウリに大雑把な草稿を作ってもらい自分で修正して本稿に仕上げるというつもりだったのでしょう。

ところがパウリの書いた相対性理論の解説は完璧な出来栄えで、ゾンマーフェルトが「自分が直すところは何もない」と驚くほどの出来栄えだったのです。

それは後日アインシュタイン本人も読むことになり、その深い洞察に称賛を送ったといいます。

そんなパウリでしたが、根っからの理論物理学者で、実験は大の苦手でした。実験器具もよく壊していたため、そのうち近づくだけで器具が壊れると噂されるようになり、科学と無縁のこの現象は仲間たちから冗談めかして「パウリ効果」と呼ばれました。

パウリはその後いくつかの研究室を渡り歩き、ボーアの講演に感銘を受けて、コペンハーゲンの研究所へ行くことになります。

この研究所滞在は1年という期限付きのものでしたが、パウリとボーアの付き合いはこの後生涯に渡って続きます。

このとき、ボーアは電子殻モデルというものを発表しています。

化学の教科書を開くと必ず載っている元素周期表というものがありますが、この表の縦列に並ぶ元素は基本的に化学的な性質がよく似ています。

特に一番右側の列に並ぶ希ガス元素（下図で黄色の列）は、極めて安定性が高くほとんど化学反応を起こしません。

しかしこの元素周期表は、当時の実験結果から経験的に発見されたもので、なぜ元素がこうした並びで周期的に似た性質を表すのか、その理由はよくわかっていませんでした。

これを説明したのがボーアの電子殻モデルです。

けれどボーアは相変わらずインスピレーションに頼ってこの理論を導いていて、なぜ電子の指定席のようなものが原子の中にあるのか説明することはできなかったのです。

恩師のラザフォードも優れたアイデアであることは認めつつも、「なぜ君がこの結論に至ったのかがまるで理解できない」と困惑したといいます。

しかし、ボーアはこのモデルをもとに当時未発見だった、元素番号72番の性質について予想を述べ、それは後に発見されたハフニウムと一致します。

このためボーアの電子殻モデルは無視できない重要理論であると考えられるようになりました。

では、ボーアの主張した電子の座席数の正体とは一体なんなのでしょうか？

この疑問に答えるためのヒントは、ラザフォードの研究室にいた大学院生エドマンド・ストーナーが発見します。

ボーア・ゾンマーフェルトの原子モデルでは、電子のエネルギー準位を決定するために、軌道の大きさ(n)、軌道の形(k)、軌道の向き(m)という3つのパラメータ（量子数）を使っていました。

ストーナーはこの3つの量子数を使って計算すると、それぞれの電子殻で電子が取ることのできるエネルギー状態が、1個、4個、9個に決定できるということを発見するのです。

つまりストーナーは、上で示した電子の座席数がこのエネルギー状態の2倍の数であることを示したのです。

パウリはこの研究をヒントにして、現代まで彼の名を轟かせる「パウリの排他原理」を思いつきます。

電子は軌道上で、あるエネルギー状態を作りますが互いに同じエネルギー状態に入ることができません。

それが電子殻に入れる電子数に上限を生み出していて、座席数の決まったスタジアムのような状態にしていたのです。

しかし電子殻の上限は、なぜ電子の取りうるエネルギー状態数の2倍になるのでしょうか？

パウリはこの原因が、実は電子のエネルギー状態を決定するパラメータを1つ見落としているためではないかと考えます。

彼はこのとき、磁場の影響で線スペクトルが分裂する「異常ゼーマン効果」の原因解明に苦しんでいましたが、この問題を解決する鍵が「磁場に影響される新しいパラメータ（電子の自由度）ではないか？」　と気づくのです。

そして、パウリはそのパラメータに二価性という名を付けて導入します。

これは簡単にいうなら、電子のエネルギー状態をさらに2種類の状態に分割するものでした。

あるエネルギー状態Xがあったとすると、そこにXAとXBという状態を追加するわけです。

これにより、ボーアの主張した各電子殻に入る電子の上限と、ストーナーの計算した電子殻の電子が取るエネルギー状態の数が一致し、電子殻に関する基礎理論が完成したのです。

ただ、この二価性というパラメータが実際には電子の何を表現しているのかは、パウリ自身もわかっていませんでした。

誰もノーベル賞をもらえなかった電子スピン理論

パウリが導入した二価性とは何を意味しているのでしょうか？

この問題を解決させたのが、オランダ人のウーレンベックとハウトスミットという二人のポスドク研究者でした。

ウーレンベックが考えたのは電子のスピン（回転）でした。

磁場に影響する以上、それは電子の自転だろうと考えたのです。そして、自転ならば変化する種類は「右回り」か「左回り」の2種類しかありません。

ただ、電子は大きさを持たない粒子として記述されます。これが回転した場合、電子の角速度は光速を上回ってしまい相対性理論に反することになります。

パウリもボーアもこのことが引っかかり、電子スピンには反対でしたが、当のアインシュタインが解決可能だという考えを示したことで溜飲を下げます。

このことは後に場の量子論という別の問題に繋がっていきますが、それはまた別のお話です。

なんにせよ、このときウーレンベックの考えた電子が地球のように自転しているというのは誤ったイメージでした。

実際電子スピンは数式で表現されるイメージできない極めて量子的な状態を表しています。

もちろん、それではまったく理解できないので、今でも電子スピンは地球と同じような電子の自転というイメージで説明されています。

しかし電子スピンとは量子力学の話を聞いたときに、多くの人が「？」と躓く問題の1つでしょう。

こうした古典物理学では表現することのできない概念の登場は、古典物理学と量子論という新しい物理学を分けるきっかけになるのです。

現代でも多くの人たちが理解することに苦労する「電子スピン」の発見は、当時もちょっとしたいざこざを起こしました。

実はウーレンベックとハウトスミットの論文発表より、1年ほど前にラルフ・クローニヒという研究者がすでに二人の論文と同じレベルまで理論を完成させていたのです。

ただ、古典物理学で考えた場合あまりに問題の多い電子スピンは、クローニヒ自身も確信が持てなかったため、パウリにどう思うかと相談をしました。

パウリは二価性について、古典物理学の概念では表現できない量子状態だと直感的には理解していたので、クローニヒの電子の自転というアイデアを「電子はそんな風になっていないよ」と馬鹿にして、かなり冷淡な態度で否定しました。

そのためクローニヒは、「あのパウリが違うというなら違うんだろう」と発表を諦めてしまうのです。

しかし、二人のオランダ人の電子スピン理論があっさり世間に受け入れられたのを目の当たりにして、クローニヒはかなりパウリを恨みます。

後に二人は和解しましたが、このことは世間の知る所となり、ノーベル賞委員会もこの騒動でスピンの発見について、ウーレンベックとハウトスミットの二人に賞を送ることを躊躇ってしまいました。

そのため、電子スピンは量子論の歴史に残る大発見だったというのに、この件でノーベル賞を手にした人は誰もいないのです。

しかし、パウリは排他原理の発見でノーベル賞を受賞したため、彼はこのことを後々までかなり気に病んでいました。

パウリは晩年になってもこの出来事を思い返し「若い頃の自分は本当に馬鹿だった」と後悔していたといいます。

もう一人の天才　ハイゼンベルク

パウリと同世代で、重要な物理学者がもう一人存在します。それがヴェルナー・ハイゼンベルクです。

ハイゼンベルクはもともとは数学者になろうとしていましたが、数学の教授とうまく行かず、父の紹介で出会った物理学者ゾンマーフェルトのもとで勉強することになります。

このときゾンマーフェルトの研究室には、パウリも在籍していました。ここでの出会いをきっかけに二人は生涯を通じた物理学研究の盟友となります。

量子論の魅力をハイゼンベルクに教えたのもパウリでした。

その後、ハイゼンベルクはパウリと同様ボーアの講義に感銘を受け、量子論の道を歩む決心をします。

そして、博士号取得後は、ゾンマーフェルトの紹介で、マックス・ボルンの助手として彼の研究室に入りました。

マックス・ボルンは、数学者から論理物理学者へ転向した人物で、この時代、ボーア、ゾンマーフェルトと並んで量子力学の重要人物でした。

もともと数学者を志していたハイゼンベルクにとって、ボルンは最適な教官だったでしょう。

このとき、ボルンは次々に見つかる新事実に物理学はもう1から全部作り直すしか無いだろうと考えていました。そして、その新理論を量子力学と呼んだのです。

ハイゼンベルクの革新的な量子力学の考え方も、ここから始まっていきます。

ただこの当時、ハイゼンベルクはひどい花粉症を患っていて、ある時期は顔が腫れ上がって目も開けられないという状態になっていました。

研究にもまるで集中できないので、彼は仕方なく休暇をとって、花粉の届かない北海の小島「ヘルゴラント」へ旅行にいきます。

そして、やっと訪れた落ち着いた環境の中でハイゼンベルクは、原子核の周りを回る電子について考え始め、そして量子力学の歴史に名を残す大発見をするのです。

もともと数学を志していたハイゼンベルクは、観測できないものに視覚的イメージを持たせることはナンセンスだと考えていました。

原子核の周りを軌道を描いて回る電子というイメージも、ハイゼンベルクにとってはひどく馬鹿馬鹿しいものだったのです。

数学は元来、頭に思い描いてイメージできないことを取り扱うのが得意な学問です。

そのため、ハイゼンベルクは物質の構成は観測できる値とその関係性だけで数学的に表現するべきだ、と考えました。

そこで彼は、電子がエネルギー準位間を瞬間的にジャンプするとき生じる線スペクトルの振動数など、観測で得られる値を全部書き出し、ボーアの対応原理によって量子的な値を古典的な運動量と位置に変換しました。

そして、そこから電子の振る舞いを計算しようとしたのですが、この複雑な式は運動量pと位置qを入れ替えて掛け算できないという、特殊な性質を持っていたのです。

これはつまり、A×BとB×Aという計算をした場合、答えが異なってしまうということです。

これを非可換性といいますが、掛け算の順序で答えが異なる計算というのをハイゼンベルクはそれまで経験したことがありませんでした。

ハイゼンベルクは悩みましたが、この成果をボルンに見せることにします。

するとボルンはその意味にすぐに気づき、「君がやっているのが行列計算だ」と言ったのです。

行列計算は、計算の順序を変えると答えも変わってしまいます。

この当時、行列計算は数学では確立されていたものの、論理物理学者にはほとんど知られていませんでしたが、元数学者であったボルンはこの計算方法を知っていたのです。

数学に熟達したボルンは、この式を洗練させていき、まだ若手のヨルダンという研究者も引き込んで、ハイゼンベルクとともに三者論文と呼ばれる論文にして理論を完成させます。

この理論については、解説することは非常に困難です。

なにせハイゼンベルクが頭にイメージして考えることを禁止して作り上げた理論なのです。

そのため、三者論文は当時、ボーアに見せても「行列だらけで何がなんだかワケがわかりません」と突っ返されたくらい難解なものでした。

しかし、パウリはここで語られる理論を使って、水素原子の線スペクトルを論理的に再現することに成功します。

こうしてハイゼンベルクの傑作と言える、新しい物理学『行列力学』が誕生するのです。

けれど、何を計算しているのかイメージすることもできず、しかもなれない複雑で難解な行列計算を強いるこの行列力学は、同業の物理学者たちからはすこぶる評判が悪いものになりました。

物理学者たちは、行列力学がなんなのかさっぱりわかりませんでしたが、原子内の電子の振る舞いについて正しく計算できるため、仕方なくイヤイヤ受け入れるという状況になってしまったのです。

しかしこの行列力学の、運動量と位置という2つの物理量の非可換性（入れ替えて計算できない）は、2つの確定値を同時に得られないというハイゼンベルクの不確定性原理へ結びついていくことになります。